الباب الأول ( القطوع المخروطية)
القطع المكافئ

أهداف الدرس
1) أن يتذكر الطالب صفات القطع المكافئ
2) أن يتذكر الطالب حالات القطع المكافئ
3) أن يوجد الطالب صفات القطع المكافئ إذا علمت معادلته
4) أن يوجد الطالب معادلة القطع المكافئ إذا علمت بعض صفا
م
المعادلـــــــــــــــــــــــة
الصفـــــــــــــــــــــــــــــــــــات
الرأس البؤرة الدليل المحور الفتحة
الرسم
1
ص2 = 4أ س
(0,0) (أ , 0) س=- أ ص=0 س+



2
ص2 = -4أ س
(0,0) (- أ, 0) س= أ ص= 0 س-



3
س2 = 4أ ص
(0,0) (0,- أ) ص=- ا س= 0 ص+



4
س2= -4أ ص
(0,0) (0 , أ) ص = أ س = 0 ص-



5
(ص-هـ)2 =4أ(س- د)
(د,هـ) (د+أ,هـ) س=د- أ ص=هـ س+




6
(ص- هـ)2=-4أ(س– د)
(د , هـ) (د-أ ,هـ) س= د+أ ص= هـ س-





7
(س-د)2=4أ (ص- هـ)
(د, هـ) (د,هـ+أ) ص =هـ-أ س= د ص+




8
(س-د)2=-4أ( ص– هـ)
(د, هـ) (د,هـ- أ) ص=هـ+ أ س= د ص-






ملاحظات هامة
1- أ دائما موجبة

2- الرأس ينصف دائما البعد بين البؤرة والدليل.
3- البعد بين الرأس والبؤرة= البعد بين الرأس والدليل= أ
4- البعد بين البؤرة والدليل= 2أ
5- البؤرة تقع دائما داخل تجويف القطع
6- المحور يمر بالبؤرة والرأس ويعامد الدليل.



خطوات استنتاج معادلة القطع المكافئ:
1- نضع المعادلة بالصورة القياسية
2- نوجد من المعادلة قيمة أ وأحداثي نقطة الرأس
3- نكتب الصفات المطلوبة



خطوات استنتاج معادلة القطع المكافئ:
1- نرسم القطع ونحدد اتجاه فتحته
2- نكتب الصورة القياسية المناسبة لمعادلة القطع
3-نحدد قيمة أ و الرأس ( د , هـ)
4- نعوض في الصورة القياسية عن الرأس وقيمة أ 0
تمارين






1-ضع المعادلات الأتيةفي الصورة القياسية ثم استنتج صفات القطع وارسمة:
أ‌) 2س2 – 8 ص =0
ب‌) (ص + 1 )2 = 4 س – 8
جـ) ص2+ 2ص – 4س + 5 = 0
2- أوجد القطع المكافئ في الحالات التالية:
أ‌) الرأس ( 3 , 3 ) , البؤرة ( 3 , 1 )0
ب‌) البؤرة ( 5 , 3 ) و الدليل ص = -1
جـ) الرأس ( 1 , 4 ) ويمر بنقطة الأصل ومحور تناظره يوازي المحور الصادي0
3- أكمل الفراغات التالية:
( ص - ....)2 = ....( س – 1 ) تمثل معادلة قطع مكافئ رأسه النقطة (... , 4 ) وبؤرته النقطة
( 0 , .... ) ومعادلة دليله المستقيم س = ..... , ومحوره المستقيم ص = .... وفتحته جهة.......
4- أختر الإجابة الصحيحة من بين الأقواس:
أ‌) ( ص – 2 )2 = 4 ( 3 – س ) معادلة قطع مكافئ فتحته جهة.......
س+ ,س- , ص+ ,ص-
ب‌) ص2 = 8( س –2 ) معادلة قطع مكافئ ومعادلة دليله هي......
س = 0 , ص = 0 , س = 4 , ص = - 4



ثانيا القطع الناقص

اهداف الدرس:
1- أن يتذكر الطالب صفات القطع النقص.
2- أن يتذكر الطالب الصورة القياسية للقطع الناقص
3- أن يوجد الطالب الصورة القياسية للقطع إذا علمت بعض صفاتة
4- أن يوجد الطالب صفات القطع الناقص إذا علمت معادلتة


م

المعادلة
الصفات

المركز البؤرتين البعد المحور المحور معادلتي

البؤري الأكبر الأصغر المحورين

الرســـــــــــم


1
س2 + ص2 = 1
أ2 ب2

(جـ,0) 2أ س=0

(0,0) (- جـ,0) 2جـ يوازي س 2ب ص=0




2
ص2 + س2 = 1
أ2 ب2

(0,0) (0, جـ) 2أ س= 0

(0,- جـ) 2جـ يوازي ص 2ب ص=0


3
(س-د)2 + ( ص-هـ)2 = 1
أ2 ب2

(د,هـ) (د+جـ,هـ) 2أ س = د

(د- جـ,هـ) 2جـ يوازي س 2ب ص = هـ



4
(ص-هـ)2+ (س- د)2 = 1
أ2 ب2

(د,هـ) (د,هـ+ج) 2أ 2ب س= د

(د,هـ-ج) 2جـ يوازي ص ص = هـ




ملاحظات هامة:
1- أ , ب , جـ موجبة دائما , أ اكبر منهما
2- جـ2 = أ2 – ب2
3- مركز القطع الناقص ينصف البعد بين البؤرتين, ينصف البعد بين نهايتي المحور الأكبر, ينصف البعد بين نهايتي المحور الأصغر0
4- المحور الأكبر ( المحور البؤري) لوقوع البؤرتين عليه.




1-ضع المعادلات التالية في الصورة القياسية واستنتج صفات القطع وارسمه
أ‌) 9 س2 + 16 ص2 – 144 =0
ب‌) 4 ( س – 6)2 + 9 ( ص + 4 )2 = 36
ج) 4 س2 + 9 ص2 – 48 س + 72 ص + 144 =0

2- أوجد معادلة القطع الناقص في الحالات التالية:
أ‌) مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه ( 3 , 0 ) , طول محوره الأصغر 8 وحدات0
ب‌) معادلتا محوريه س = 3 , ص = 2 ,إحدى بؤرتيه ( 3 , -2 ),طول محوره الأكبر 10 وحدات
ج) مركزه نقطة الأصل , محوره الأكبر هو محور السينات , يمر بالنقطتين (4 , 3 ),(6, 3)0
3- أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه (-4 ,5) ,(2 , 5) , ب = 1
أ 2
4- أوجد معادلة القطع الناقص الذي نهايات محوريه هي:
(2, 1 ) , ( 4 , 4 ) , ( 2 , 7 ) , ( 0 , 4 )
5- أ وجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه ( 2 , 3 ) وطول محوره الأكبر 10وحدات و يوازي محور
السينات و إحدى بؤرتيه تقع على المستقيم ص = 2س – 9 0

6- أ وجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه هو رأس القطع المكافئ الذي معادلته :
ص 2 + س 2 – 18 س – 6 ص + 65 =0 و إحدى بؤرتيه تبعد عن مركزه 6 وحدات

7- اكمل كلا مما يلي:
القطع الناقص الذي معادلته 9 س2 +4 ص2 +3 = 4 فإن:
أ) صورته القياسية ......... + ......... = 1
ب) مركزه النقطة ( ......, ....... )
جـ) بؤرتاه هما النقطتين (....., ..... ) , ( ..... , ..... )
د) بعده البؤري ........... وحدات طول












القطع الزائد
اهداف الدرس:
1- أن يتذكر الطالب صفات القطع الزائد
2-أن يتذكر الطالب الصورة القياسية للقطع الزائد
3-أن يوجد الطالب الصورة القياسية للقطع إذا علمت بعض صفاته
4-أن يوجد الطالب صفات القطع الناقص إذا علمت معادلته

م

المعادلـــــــــــــــــــــــة

الصفـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــا ت
المركز الرأسين البؤرتينالبعد المحورمعادلتي معادلتي
البؤري القاطع محوريه خطي التقارب

الرســـــــــم

1

س2ص2 = 1
أ2 ب2

(0,0) (=أ,0) (=جـ,0) 2جـ 2أ س= 0 ص= =ب س
أ
ص= 0


2

ص2 س2 = 1
أ2 ب2

(0,0) (0 , = أ) ( 0, = جـ) 2جـ 2أ س = 0 ص= = أ س
ص = 0 ب



3

(ص –هـ)2 – ( س- د )2 = 1
أ2 ب2

(د,هـ) (د=أ,هـ) (د=جـ,هـ) 2جـ 2أ س=د (ص- هـ)=
ص=هـ = ب (س- د)
أ


4

(س – د)2(ص – هـ)2 = 1
أ2 ب2

( د , هـ) (د,هـ=أ) (د, هـ=جـ) 2جـ 2أ س= د (ص-هـ) =
ص=هـ = أ (س- د)
ب


ملاحظات هامة :
1- أ , ب , جـ موجبة دائما وأكبرها جـ
2- جـ2 = أ2 + ب2
3- مركز القطع الزائد ينصف البعد بين الرأسين , وينصف البعد بين البؤرتين0
4- المحور البؤري هو المحور القاطع والمحور الغير بؤري هو الغير قاطع0


1- أختر الإجابة الصحيحة من بين الأقواس:
أ‌) س2 _ ( ص )2 =1 هي معادلة قطع زائد طول بعده البؤري............
9 ( 4 )
2 13 أ, 10 أ, 8 أ, 6 وحدات
ب) ص2 _ س2 = -2 هي معادلة قطع زائد طول محوره القاطع........
8 32

16 أ, 8 , 4 , 1

2- ضع المعادلات التالية علي الصورة القياسية
أ) 9 ص2 – 16 س2 + 144 =0
ب)( ص – 2 ) 2 – 4 س2 = -4
جـ) 5 س2 – 4ص2 +20 س +8 ص = 4
3- أوجد معادلة القطع الزائد في الحالات الآتية:
أ‌) خطاه المتقاربان ص = ± 2 س ورأساه هما (± 6 , 0 )
ب‌) رأساه (± 4 , 0 ) وبؤرتاه هما (± 8 , 0 )
جـ) بؤرتاه (± 5 , 0 ) وطول محوره القاطع 8 وحدات
د ) مركزه ( 2 , -4 ) وإحدى بؤرتيه ( 7 , -4 ) وطول محوره القاطع 8 وحدات
هـ) إحدى بؤرتيه (10 , 12 ) ومعادلتا محوريه س = 10 , ص = 7
4-أوجد معادلة القطع الزائد الذي طول محوره القاطع 4 وحدات وإحدى بؤرتيه ( 3 , -5 ) وإحدى
نقطتي تقاطعه مع المحور ( 3 , 1 ) والمركز بينهما0
5- أوجد معادلة القطع الزائد الذي رأساه هما نهايتي المحور الأكبر للقطع الناقص الذي معادلته
9 س2 + 4 ص2 – 18 س+ 16ص –11 = 0والبعدبين بؤرتيه 8 وحدات

القطوع المخروطية





1- حدد نوع القطع الذي تمثله المعادلات الأتيه:
أ‌) ص – س2 = 8س + 18
ب‌) 4س2 +9ص2 –8س –36 ص + 4 = 0
جـ) 5س2 + 20س –4 ص2 +8 ص = 4
د ) ص2 – 4 س2 –4 ص +8 = 0
2- أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه ب1(2, 1 ) , ب2( 8 , 1 ) ومحيط المثلث ن ب1ب2=16
وحدة طول حيث ن З لمنحنى القطع الناقص 0
3- أوجد معادلة مجموعة النقط في المستوى التي مجموع بعديها عن النقطتين (2 , 5 ) , ( -4 , 5 )
مساويا 10 وحدات 0
4- أذكر ما تمثله بيانيا كلا من المعادلات الآتية:
أ‌) س2 +ص2 =1
ب‌) س2 + ص2 = -1
جـ) س2 + ص2 = 0
د‌) س2 – ص2 = 1
هـ) س2 – ص2 = -1
و‌) س2 – ص2 = 0







الباب الثاني( المتتابعات والمتسلسلات )

المتتابعات

المتتابعات المنتهية المتتابعات الغير منتهية

حسابية هندسية تقاربية تبا عدية

ح ن =أ +(ن + 1 ) د ح ن =أ 0 ر ن- ا إذا كان لها نهاية وحيدة إن لم يكن لها نهاية وحيدة


المتسلسلات

المتسلسلات المنتهية المتسلسلات الغير منتهية





حسابية هندسية حسابية هندسية غير ذلك
جـ ن= ن ]2أ +(ن- 1) د[ جـن= أ( ر ن – 1 )
2 ر - 1 تباعدية دائما تباعدية إذا كان
جـ ن= ن ( أ + ح ن ) لا يمكن جمعها نها ح ن ≠ صفر
2






| ر | < 1 | ر | > 1
تقــــــــــــــاربية يبـــــــــــــــــاعدية
جـ ن = أ 0
ر - 1 لا مجموع لها





تمارين على الباب

الثالث








1- أدخل الأوساط الآتية:
أ‌) 4 أوساط حسابية بين العددين 27 , 42 0
ب‌) 3 أوساط هندسية بين العددين 3 , 48 0
2- باستخدام مفهوم المتتابعة الحسابية أوجد عدد الأعداد المحصورة بين العددين 300 , 600 التي
تقبل القسمة على 7 ثم أوجد مجموعها 0
3- أوجد إن أمكن مجموع المتسلسلات الآتية:

أ) ( 3 ن + 2 ) ب) ( 3 ن + 2 )


جـ) 2Ҳ ( 3 ) ن د) 2 Ҳ 3 ن
4 4

هـ) 2 Ҳ 4 ن و) ( 2 ن + 2ن )
3
4- إذا كان ح ن = 3ن2 + 4 فأدرس تقارب كلا من:
5 + 6 ن2
أ) ح ن ب ) ح ن

5-أوجد عدد حدود المتسلسلة في الحالات التالية:

أ) 1 ن = 63 ب) (3 ن + 5 ) = 215
2 64
6- متتابعة حسابية فيها الحد الثالث 11 , الحد السابع23 0 أوجد المتتابعة ثم أوجد جـ10 0
7- متتابعة هندسية فيها ح 3 = 3 / 1 , ح 6 =9 أوجد ح 5 , جـ5 0
8- متتابعة حسابية مجموع خمسة حدود متتالية = 45 فأوجد تلك الحدود0
9- متتابعة هندسية فيها ح1 = 3 , مجموع الحدود الثلاثة الأولى منها 171 فأوجد جـ6 0
10- متتابعة هندسية موجبة فيها ح3 =4 , حدها الثاني يزيد عن حدها الرابع بمقدار 6 0أوجد المتتابعة
ثم أوجد ح7 0
11- متتابعة هندسية حدها الأول 3 ,حدها الأخير 48 ,كل حد فيها ضعف الحد السابق له مباشرة أوجد
مجموعها0

12- أثبت آن المتسلسلة 2 ن تقاربية0 وأوجد مجموعها0
5
13- إذا كانت ( س , 3 + ص , 6 + ص , 16 ) متتابعة هندسية فأوجد قيمتي س , ص0


الباب الثلث






النهايات و اٌلإتصال

الدوال الحقيقية وخواصها النهايات الاتصال



الدوال الخواص النهاية عند نقطة النهاية عند اللانهاية النهاية بالنظريات الإتصال عندنقطة على فترة

مجال الدالة الحقيقية:
هي الفترة التي تكون للدالة عندها معرفة

م
الدالـــــــــــــــــــــــــــــــــة
مجال الدالـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــة
1
كثيرة الحدود
ح
2
الدالة الآسية
ح
3
الدالة الكســـرية
ح – مجموعة أصفار المقام
4
الدالة الجذرية
ما تحت الجذر 0
5
الدالة اللوغاريتمية
ما تحت الجذر> 0


بحث إشارة الدالة الدرجة الأولى :
تكون الدالة مثل إشارة معامل س على يمين صفر الدالة وعكسها على يسارها
بحث إشارة الدالة الدرجة الثانية :
تكون الدالة مثل إشارة معامل س2 ما عدا بين صفري الدالة0
ملحوظة1:
تكون للدالة إشارة مثل إشارة س2 إذا كان لها صفر واحد أو ليس لها أصفار0
متحوظة2:
نستخدم بحث الإشارة في الحالات الآتية:
1- لإعادة تعريف القيمة المطلقة
2- لتحديد مجال الدالة الجذرية و اللوغاريتمية
خواص الدوال الحقيقية:
أولا الدوال الدورية:
تسمى د ( س ) دالة دورية ودورتها أ إذا كان أ هو أصغر عدد حقيقي موجب يجعل:
د( س + أ ) = د ( س )0
مثل : جــا ( هـ + 2ط ) = جــا هـ دالة دورتها 2ط
ظــا ( هـ + ط ) = ظــا هـ دالة دورتها ط




ثانيا الدوال الزوجية والفردية:
1- إذا كانت د ( - س ) = د ( س ) فإن الدالة زوجية0
2- إذا كانت د ( - س ) = - د ( س ) فإن الدالة فردية0
3-إذا كانت د ( - س ) ± د ( س ) فإن الدالة ليست زوجية آو فردية


1- جــا (- هـ) = - جــا هـ 2- ظــا (- هـ ) = - ظــا هـ
3- جتا (- هـ )= جتا هـ 4- | - س | = | س |
4- الدالة الزوجية متماثلة حول محور الصادات0
5- الدالة الفردية متماثلة حول نقطـــة الأصــل 0
ثالثا الدوال المتزايدة والمتناقصة:
1- إذا كانت س1 > س2 فإن د( س1 ) > د( س2) تكون الدالة متزايدة0
2- إذا كانت س1 > س2 فإن د( س1 ) < د( س2) تكون الدالة متناقصة0
رابعا الدوال المحدودة والغير محدودة:
تسمى الدالة د( س) محدودة إذا كانت محدودة من أسفل ومن أعلى على الصورة:
م د( س) ل حيث م هو الحد السفلي , ل هو الحد العلوي0




1- حدد مجال كلا من الدوال الآتية:
أ) د( س) = س2 – 4 ب) د( س) = لو ( 9 – س2)

جـ) د( س) = 16 – س2 د ) د( س) = 2 س + 7
س2 - 9 2س – 6 - 4
هـ) د( س) = 4 – س2 و) د( س) = س + 3
| 2س| - 4 2س - 4
2- أعد تعريف الدوال الآتية وأرسم المنحنى البياني لها وحدد مجالها ومداها وأدرس جميع خواصها0
أ‌) د( س) = | 2س – 6 | + | س + 2 | + 30
ب‌) د( س) = 1 ( | س + 1 | + | س – 1 | )
2
3- عين نوع الدوال الآتية من حيث كونها زوجية آم فردية:
أ‌) د( س) = 3 س2 + 5 جتا س + 2ظــا2س
ب‌) د( س) = س | س | + جتا 3 س
جـ) د( س) = س3 + جــا س

| 2 س |



4- أدرس محدودية الدوال التالية:
أ) د( س) = ( س + 2 )2 +5 حيث -2 س 2 0

ب) د( س) = س2 على مجاها
س2+3
جـ) د( س) = 3 . جتا س حيث س -6 0
6 + س
د) د( س) = س2 –6 س +4 1 س 3
5ـ أوجد مجال الدالة د( س) = } س + 3 عند س > 0
} 2س – 1 عند س < 0
6- أدرس تزايد آو تناقص الدوال الآتية:
أ‌) د( س) = | 2 س – 10 | على مجالها0
ب‌) د( س) = س | س | على مجالها0
جـ) د( س)= 2 س3 – 7 على مجالها0
د ) د( س) = س2 + 4 على مجالها0
7- ابحث اطراد الدالة د( س) = س – 7 على مجاها
س + 3

8- أبحث تناظر الدالة د( س) = س – 2 عند س > 0
- س – 2 عند س < 0


















النهايات


نهاية الدالة عند نقطة
نهاية الدالة عند اللانهاية
نهاية الدالة باستخدام النظريات
شروط وجودها:
1-أن تكون معرفة حول النقطة
2-أن تكون نهايتها اليمنى تساوي
نهايتها اليسرى
خطوات إيجادها:
1-نتأكد أن الدالة معرفة حول النقطة
2-نعوض في الدالة عن قيمة س التي
تؤول إليها س فنحصل على إحدى
النتائج الآتية:
أ) نها س+ 3 = 6
س 3 س2+9 18
ب) صفر هنا نحلل ثم نختصر
صفر
مثل: نها س+3 = نها 1 = 1
س2-9 س+3 6
جـ)عدد
صفر


خطوات إيجادها:
1- نتأكد أن الدالة معرفة بالقرب من
∞ , - ∞ أو كتاهما
2-إن كانت الدالة كسرية وخالية من
الجذور نقسم البسط و المقام على اكبر
س في المقام

0 إذا كان درجة المقام اكبر

نها د( س ) = ∞ إذا كان درجة المقام اقل
ر(س)
أ . إذا كان درجة المقام =
ب درجة البسط
مثل: نها 2 س+3 =صفر
س2- 4
نها س2- 4 =
س + 3
نها 2س2 + 7 = 2
3س+2س2 5



نظريه 1:
1-إذا كانت د1 , د2 معرفة على ف - } أ { وكانت
نها د1 = صفر , د2 محدودة فإن:
نها د1 x د2 = صفر
س أ
2- نظرية الساندويتش
إذا كانت د( س) معرفة على ف - } أ { وكانت
د1 ≥ د(س) ≥ د2 وكانت نها د1 = نها د2 = ل
فإن نهـــــــــــــــــــــــا د(س) = ل0

وبالمثل عند س ±
نظرية 3:
نهـــــــــأ جــا س = 1
س 0 س
نهــــــــا ظــا س = 1
س 0 س
نهــــــــا 1- جتا س = صفر
س 0 س


الاتصال

الاتصال عند نقطة جـ
الاتصال على فترة ] أ , ب [
شروط الاتصال :
1- أن تكون الدالة معرفة عند جـ
2- أن تكون نهاية الدالة حول جـ =
قيمتها عند جـ

أي أن: نها د(س) = د( جـ)

شروط الاتصال:
1- أن تكون معرفة على الفترة
2- نهــا د(س) = د(جـ) لكل جـ Э] أ , ب [
3- نهــا د(س) = د ( أ )
4- نهــا د(س) = د (ب)










أوجد النهايات التالية إن أمكن: س2 + 1 عند س >2
أ) نهـــــا س2 –5 س + 6 ب) نهـــــا
س 3 س – 3 س 2 2س – 3 عند س < 2

جـ) نهــــا /\ 2س+3 - 3 د) نهــــــا س2 - 4
س 3 س2 – 9 س 2 2 س

هـ) نهــــا و) نهـــــا (س-2)2 -4
3س - | س | س 0 س
أحسب النهايات التالية إن أمكن:
أ) نهــــــا | س2 –16| ب) نهــــــا /\ س5 س+2 -64
س 4 س- 4 س 2 س - 2

جـ) نهـــــا س4+2س2+س-4 د) نهـــــا ( /\ س2-2س-2 - س )
س 1 س - 1 س ∞
3س – 1 عند س <0
إذا كانت د(س) = صفر عند س = 0 فاحسب مايلي:
2س+2 عند س > 0
أ) نهـــــــا د(س) ب) نهــــــا د(س) جـ) نهـــــا د( س )
س 2 س -2 س 0

أوجد النهايات التالية:
أ) نهـــــا 3 س + 2 ب) نهــــــا 2س + 5
س ∞ 2 + 5س س ∞ س2+7س+3

جـ) نهـــــا 3 س2 – 4 د) نهـــــا | س | + 5
س ∞ س + 2 س ∞ 2س – 6

هـ) نهـــــا 3 س + 7 و) نهـــــا 2س - 5
س ∞ س2 - 16 س ∞ 16 – س2

أوجد النهايات التالية إن أمكن:
أ) نهـــــا 1 جـا س ب) نهـــــا 1 جـا س
س 0 س س ∞ س



جـ) نهــــــا جــا س د) نهــــــا 3 – 3 جتا س
س ط 2 س س 0 6 س
2

هـ) نهــــــا جــا ( س – 2 ) و) نهـــــا جــا 3س ظــا 5 س
س 2 س2 + س – 6 س 0 6س2

ز) نهـــــا جــا3س ظتا 2س ح) نهـــــا 5س + 3 جتا س
س 0 س ∞ 2س - 1
أدرس اتصال كلا مما يلي:
أ) د(س) = | 2س – 6 | عند س = 30
س2 – 2 عند س > 2
ب) د( س) = عند س = 2
2س – 2 عند س < 2
س2 - 16 عند س ± 4
جـ) د(س) = س – 4
2س عند س = 4

أدرس اتصال الدوال الآتية على مجالها:
أ) د(س) =/ | س2 – 9 ب) د(س)= /| 9 – س2

جـ) د(س) = | س2 –5س +6 |

س – 3 عند 3 ≥ س
د) د(س)= 2 عند 3 < س < 8
س - 6 عند س ≥ 8

أوجد قيمة ك التي تجعل د(س) متصلة عند س = 3 حيث
س2 –7س + 12 عند س ≠ 3
أ) د(س)= س – 3
ك2 – 10 عند س = 3
ب) د(س) =/\ 2س –3 عند س≠ 4
س - 4
ك + 1 عند س = 4
أعد تعريف الدالة د(س) = س2 –5س +6 عند س = 3
س2 - 9



الاشتقاق وتطبيقاته
أوجد باستخدام التعريف مشتقة كلا من الدوال الآتية:
أ) د(س) = س2 + 3 عند س= 3
ب) د(س)= /\ س - 2 عند س = 4
جـ) د(س)= س2 –3س + 1 عند س = 5 0
إذا كانت د(س) = س2 – 4 فأوجد :
أ) معدل تغير الدالة عندما تتغير س من 3 إلى 4 0
ب) معدل تغير الدالة عند س = 3 باستخدام التعريف 0

أوجد مشتقة كلا من الدوال الآتية:
أ) د(س)= ( س2+4س –1)4 ب) د(س) = /\ س2 –4س
3
جـ) د(س)= 1 . د) د(س) = /\ س2 - 4
(س2+6 )7

هـ) د(س) = ( جــا س2 + جــا2 س )4 و) د(س) = ( 3س + /\ س2 – 1 )3

ز) د(س) = س2 جــا2 س ح) د(س) = 3س2 ظتا /\ س - 1

إذا كانت ع = ص + 1 , ص = س + 2 فأوجد ء ع 0
ص - 1 س - 2 ء س
إذا كانت س ص = 1 فأثبت أن س2 ء2ص + 3س ء ص 0
ء س2 ء س
إذا كانت د(س)= جتا 3 س فأوجد ء3ص 0
ء س3
أوجد معادلة المماس والعمودي علية لمنحنى الدالة د(س)= 3 . , س ≠ 1 عند النقطة(0 , - 3)0
س- 1
يتحرك جسيم في خط مستقيم ويقطع مسافة قدرها ف= ن4 – 2ن3 +ن2 – 5 فأوجد :
أ)الزمن اللازم لانعدام السرعة0
ب)تسارع الجسيم عند انعدام الحركة0
معادلة مسار حركة جسيم هي ص = (س – 2) ( س – 1) فإذا كانت سرعة الجسيم في اتجاه محور
السينات عند النقطة (3 , 2) تساوي 3 سم/ث فأوجد سرعة الجسيم في اتجاه محور الصادات عند
نفس النقطة0


مع تمنياتي بالنجاح والتفوق
أ / محمد عبد الحميد العزيزي


الموضوع الأصلي: ( القطوع المخروطية) || الكاتب: رياض الفراشات ||